الفصل 13: التعامد في الفضاء
ملخّص: الهرم المنتظم والمخروط الدوراني
الأساسيّ
- الهرم المنتظم: قاعدته مضلّع منتظم مركزه O، و[SO] ارتفاعه عمودي على القاعدة، وأحرفه الجانبية متقايسة.
- المخروط الدوراني: قاعدته دائرة مركزها O وشعاعها R، وارتفاعه [SO] عمودي على القاعدة، والمولّد g = SA حيث A نقطة من الدائرة.
- المثلّث SOA قائم في O: نحسب به الارتفاع أو الحرف أو المولّد ببيتاغور.
- حجم الهرم (أو المخروط) ثلث حجم الموشور (أو الأسطوانة) الذي له نفس القاعدة ونفس الارتفاع.
القواعد والصيغ
الحجم
V = (B × h)/3 حيث B مساحة القاعدة؛ للمخروط: V = πR²h/3.
المولّد
g² = h² + R².
هرم قاعدته مربّع
ضلع القاعدة a: OA = a√2/2 وSA² = SO² + OA².
الطريقة
- أحدّد المثلّث القائم SOA.
- أحسب الطول المجهول ببيتاغور.
- أحسب مساحة القاعدة ثمّ الحجم مع القسمة على 3.
مثال
مخروط R = 3 صم وh = 4 صم: g² = 16 + 9 = 25 إذن g = 5 صم، وV = π × 9 × 4/3 = 12π ≈ 37,7 صم³.
هرم قاعدته مربّع ضلعه 6 م وارتفاعه 4 م: V = 36 × 4/3 = 48 م³.
هرم قاعدته مربّع ضلعه 6 م وارتفاعه 4 م: V = 36 × 4/3 = 48 م³.
أخطاء شائعة
- نسيان القسمة على 3: V = B × h حجم الموشور لا الهرم.
- أخذ OA = نصف ضلع المربّع: OA نصف القطر، أي a√2/2.
- الخلط بين المولّد والارتفاع: g² = h² + R² فالمولّد أطول.
مصطلحات الدرس
ملخّص من إعداد سكولار لمراجعة الدرس بسرعة، ولا يغني عن قراءة الدرس وإنجاز تمارينه.