موضوع الرياضيات · امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام)، دورة 2023
الحصّة: ساعتان · الضارب: 2 · 5 تمارين على 20. المصدر: وزارة التربية التونسية، دورة 2023.
حمّل الموضوع وحاول حلّه في ساعتان قبل فتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطمعادلة بقيمة مطلقة، الرقمان a و b في 9b2a، وإحداثيات نقطة في معيّن.
عناصر الإجابة
- 1) 1 − 2|x| = −5 تعني |x| = 3: الجواب (ب) {−3 ; 3}.
- 2) القسمة على 5 و 4 تفرض a = 0، والقسمة على 9 تفرض 9 + b + 2 مضاعفًا لـ 9 أي b = 7: الجواب (ب).
- 3) في المعيّن (C, F, D): B(−2 ; 0) و A = B + CD فإحداثياتها (−2 ; 1): الجواب (ج).
التمرين 2: عددان مقلوبان وحصر
4 نقاطa = 12(2 − √3) و b = (2 + √3)/12، حصر b ثمّ a، متراجحة بقيمة مطلقة.
حساب عبارات بها جذور تربيعيةمقارنة مقلوبي عددين والمقاربةالمجالات في IR والحصرالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتها
عناصر الإجابة
- 1) a = 8 − 4√3 + 4(4 − 2√3) = 24 − 12√3 = 12(2 − √3) و b = (4 + 2√3)/24 = (2 + √3)/12.
- ab = (2 − √3)(2 + √3) = 1: مقلوبان. 1 < √3 < 2 إذن 3 < 2 + √3 < 4 و 1/4 < b < 1/3، ومنه 3 < a < 4.
- 2) |2x − 7| < 1 تعني 3 < x < 4: المجموعة ]3 ; 4[.
- 3) a ∈ ]3 ; 4[ إذن |a − 3| + |a − 4| = 1 و (2a − 7)² < 1، فالفرق موجب.
التمرين 3: عبارة جبرية وطالس ومساحة رباعي
6 نقاطF = −4x² + 5x: تفكيك ومعادلة، ثمّ مثلث قائم وطالس ومنتصف، ومساحة رباعي تقود إلى F.
العبارات الجبرية: النشر والتفكيكالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدمبرهنة طالس في المثلثالعلاقات القياسية في المثلث القائم
عناصر الإجابة
- 1) F(1/2) = 3/2. −4(x − 1/2)(x − 3/4) = −4x² + 5x − 3/2 = F − 3/2. F = 3/2 تعني x = 1/2 أو x = 3/4.
- 2) طالس في المثلثين AIH و ABI: AJ/AI = JM/IH = NJ/BI، و IH = BI فـ J منتصف [MN].
- AH = IH = 1 فالزاوية HAI تساوي 45° والمثلث MAJ قائم في M ومتقايس الضلعين: MJ = MA و MN = 2MA.
- 3) في المثلث القائم BAC: AH² = BH × HC إذن HC = 1/2. MN = 2(1 − a) و S = (MN + HC) × a / 2 = (−4a² + 5a)/4.
- S = 3/8 تعني −4a² + 5a = 3/2 أي a = 1/2 أو a = 3/4. في حالة a = 3/4: MN = 1/2 = HC و (MN) // (HC): NHCM متوازي أضلاع.
التمرين 4: هرم قاعدته مثلث متقايس الأضلاع
3 نقاطتعامد مستقيم ومستوٍ، بيتاغور في الفضاء، مثلث قائم ومتقايس الضلعين.
عناصر الإجابة
- 1) (SI) عمودي على المستوي (ABC) فهو عمودي على (BI)، و SB = √(11 + 1) = 2√3.
- 2) (AI) ⊥ (BC) (موسّط في مثلث متقايس الأضلاع) و (AI) ⊥ (SI) إذن (AI) ⊥ (SBC).
- 3) (AI) عمودي على (IJ) المحتوى في (SBC). AI = √3 و IJ = SC/2 = √3: AIJ قائم في I ومتقايس الضلعين، و AJ = √6.
التمرين 5: معيّن ومراكز ثقل
4 نقاطمثلث قائم ومنتصف الوتر، معيّن AICJ، مركز ثقل المثلث DBC ثمّ JKB، ونقاط على استقامة واحدة.
عناصر الإجابة
- 1) IA = IC = BC/2 (الموسّط الصادر عن الزاوية القائمة). وبالتناظر IA = JA و IC = JC: AICJ معيّن.
- 2) [BA] و [DI] موسّطان في المثلث DBC فـ G مركز ثقله. (AJ) // (BC) و A منتصف [DC] إذن K منتصف [DB]، و (CK) موسّط يمرّ من G.
- 3) AK = BC/2 = CI = AJ و K و J في جهتين متقابلتين من A: A منتصف [JK].
- 4) (BA) موسّط في JKB و BG = (2/3)BA: G مركز ثقل JKB.
- 5) (KO) موسّط في JKB فيمرّ من G، و C و G و K على استقامة واحدة. CG = 2GK و GK = 2GO إذن GC = 4GO.
عناصر الإجابة من إعداد سكولار، وليست الإصلاح الرسمي. إذا لاحظت خطأ، راسلنا.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.