دخول التلميذدخولسجّل مجانًا

موضوع الرياضيات · امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام)، دورة 2025

الحصّة: ساعتان · الضارب: 2 · 5 تمارين على 20. المصدر: وزارة التربية التونسية، دورة 2025.

حمّل الموضوع الرسمي (PDF)
حمّل الموضوع وحاول حلّه في ساعتان قبل فتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

إحداثيات نقطة في معيّن (O,B,C)، عدد أرقام جذاء قوى، ومعدّل انطلاقًا من التكرارات التراكمية.

التعيين في المستويخاصيات القوى والكتابة العلميةالتكرارات التراكمية والموسط
عناصر الإجابة
  • 1) A نظيرة C بالنسبة إلى O، و M منتصف ⁦[AB]⁩ فإحداثياتها ⁦(1/2 ; −1/2)⁩: الجواب (ب).
  • 2) ⁦(√2³)⁶⁷⁵ = (√2)²⁰²⁵⁩ إذن الجذاء ⁦= (5√2 × √2)²⁰²⁵ = 10²⁰²⁵⁩، وعدد أرقامه 2026: الجواب (ج).
  • 3) التكرارات 60 و 30 و 10، والمعدّل ⁦(2×60 + 3×30 + 4×10)/100 = 2,5⁩: الجواب (ج).

التمرين 2: عددان مقلوبان بالجذر ⁦√5⁩

4 نقاط

⁦b²⁩ و ⁦c²⁩ ثمّ ⁦(b + c)²⁩ والوصول إلى ⁦c = (1 + √5)/2⁩ و ⁦b = (−1 + √5)/2⁩.

حساب عبارات بها جذور تربيعيةالجذاءات المعتبرةمقارنة مقلوبي عددين والمقاربة
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦b² = −1 + √5/2 − √5 + 5/2 = (3 − √5)/2⁩.
  • 2) ⁦bc = 1⁩ إذن ⁦c² = 1/b² = 2/(3 − √5) = 2(3 + √5)/4 = (3 + √5)/2⁩.
  • 3) ⁦(b + c)² = b² + c² + 2bc = 3 + 2 = 5⁩ و ⁦b + c > 0⁩ إذن ⁦b + c = √5⁩.
  • 4) ⁦bc = c(√5 − c) = c√5 − c² = 1⁩ ومنه ⁦c = (c² + 1)/√5 = (5 + √5)/(2√5) = (1 + √5)/2⁩، ثمّ ⁦b = √5 − c = (−1 + √5)/2⁩.

التمرين 3: عبارة جبرية ومثلثان قائمان

4,5 نقاط

⁦E = x² + 2x + 6⁩: معادلة ومتراجحة بقيمة مطلقة، ثمّ ⁦CD²⁩ بدلالة a وشرط ⁦CD ≤ 3√2⁩.

الجذاءات المعتبرةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدنظرية بيتاغور وتطبيقاتها
عناصر الإجابة
  • I. 1) ⁦E − 5 = x² + 2x + 1 = (x + 1)². E = 21⁩ تعني ⁦(x + 1)² = 16⁩: الحلول 3 و ⁦−5⁩.
  • 2) ⁦|x + 1| ≤ 2⁩ تعني ⁦−3 ≤ x ≤ 1⁩: المجموعة ⁦[−3 ; 1]⁩.
  • II. 1) ⁦AC² = 8 + a²⁩ ثمّ ⁦CD² = AC² + AD² = 2a² + 4a + 12. CD = √42⁩ تعني ⁦a² + 2a − 15 = 0⁩ أي ⁦(a − 3)(a + 5) = 0⁩ و ⁦a > 0⁩ إذن ⁦a = 3⁩.
  • 2) ⁦CD ≤ 3√2⁩ تعني ⁦2a² + 4a + 12 ≤ 18⁩ أي ⁦(a + 1)² ≤ 4⁩، ومع ⁦a > 0⁩: ⁦a ∈ ]0 ; 1]⁩.

التمرين 4: مثلث متقايس الأضلاع وطالس ومركز ثقل

5 نقاط

زاوية 60°، مثلث قائم في F، منتصفات بطالس، مركز ثقل المثلث MAC، ومعيّن ومساحته.

مبرهنة طالس في المثلثتجزئة قطعة مستقيمنظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالرباعيات الخاصّة وخاصيّاتها
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦AB = AF = 4⁩ والزاوية 60°: BAF متقايس الأضلاع⁦. BF = BA = BE⁩ فـ F على الدائرة التي قطرها ⁦[AE]⁩: المثلث AFE قائم في F و ⁦EF = √(64 − 16) = 4√3⁩.
  • 2) طالس في المثلث AMC: ⁦AM/AB = AC/AF = 6/4⁩ إذن ⁦AM = 6⁩ و ⁦BM = 2 = BE/2⁩: M منتصف ⁦[BE]⁩. وفي المثلث EBF: ⁦(MN) // (BF)⁩ و M منتصف ⁦[EB]⁩ إذن N منتصف ⁦[EF]⁩.
  • 3) ⁦AG/AP = AF/AC = 2/3. AM = AC = 6. G⁩ على الموسّط ⁦[AP] (P⁩ منتصف ⁦[MC])⁩ و ⁦AG = (2/3)AP⁩: G مركز ثقل MAC.
  • 4) ⁦MN = BF/2 = 2⁩ و ⁦(MN) // (BG)⁩ و ⁦BG = BM = 2⁩: BGNM معيّن. مساحته = مساحة شبه المنحرف BMNF ناقص مساحة ⁦GFN = 3√3 − √3 = 2√3 cm²⁩.

التمرين 5: هرم قاعدته مربّع

3,5 نقاط

ارتفاع مثلث متقايس الأضلاع، عكس بيتاغور في الفضاء، تعامد مستقيم ومستوٍ، ومنتصف بالتوازي.

نظرية بيتاغور وتطبيقاتهاعكس نظرية بيتاغورالتعامد في الفضاء
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦SC = √(32 − 16) = 4⁩ فالمثلث SDC متقايس الأضلاع ضلعه 4 و ⁦DI = 2√3⁩.
  • 2) ⁦OD = BD/2 = 2√2⁩ و ⁦OI = SA/2 = 2√2 (⁩مستقيم المنتصفين في ⁦SAC). BI² = 20⁩ و ⁦DI² = 12⁩ و ⁦BD² = 32 = BI² + DI²⁩: المثلث DIB قائم في I.
  • 3) (DI) ⊥ (SC) و (DI) ⊥ (BI) إذن (DI) ⊥ (SCB).
  • 4) المستقيم المار من J والعمودي على (SCB) موازٍ لـ (DI)، و K منتصف ⁦[DJ]⁩، فالمثلثان KDI و KJP متقايسان و K منتصف ⁦[IP]⁩.

عناصر الإجابة من إعداد سكولار، وليست الإصلاح الرسمي. إذا لاحظت خطأ، راسلنا.

راجع الدروس المعنيّة

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.

دروس رياضيات التاسعةكلّ الدورات