الموضوع النموذجي 4 · رياضيات التقني
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي التقني: الحصّة ساعة واحدة، الضارب 1، 3 تمارين على 20. المحاور: مقلوبان (√3 ± √2)² وظلّ شجرة.
التمرين 1: صواب أو خطأ وأسئلة متعدّدة الاختيارات
8 نقاطI) أجب في كلّ مرّة بـ«صواب» أو «خطأ» دون تعليل الإجابة. أنقل، على ورقة تحريرك، رقم السؤال والإجابة الموافقة له.
- 3⁻² = −9.
- √0,49 = 0,7.
- العدد 2√3 − 4 سالب.
- إذا كانت G مركز ثقل المثلث ABC و I منتصف [BC] فإنّ G منتصف [AI].
II) لكلّ سؤال من الأسئلة التالية ثلاث إجابات مقترحة، إحداها فقط صحيحة. أنقل، على ورقة تحريرك، رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
- العبارة x² − 16 تساوي:أ) (x − 4)²ب) (x − 4)(x + 4)ج) (x − 8)(x + 8)
- إذا كان x عددًا حقيقيًّا حيث 2(x − 1) = x + 3 فإنّ:أ) x = 5ب) x = 2ج) x = 4/3
- ينتج عامل 45 قطعة في 3 ساعات. بنفس النسق، ينتج في 7 ساعات:أ) 315 قطعةب) 100 قطعةج) 105 قطع
- حلّ المتراجحة −3x ≥ 6 هو مجموعة الأعداد الحقيقيّة x حيث:أ) x ≥ −2ب) x ≤ −2ج) x ≤ 2
عناصر الإجابة
- I. 1) 3⁻² = 1/3² = 1/9: خطأ. 2) 0,7² = 0,49 و 0,7 > 0: صواب.
- I. 3) (2√3)² = 12 < 16 = 4² إذن 2√3 < 4 و 2√3 − 4 < 0: صواب. 4) AG = (2/3)AI و GI = (1/3)AI إذن G ليست منتصف [AI]: خطأ.
- II. 1) x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4): (ب). 2) 2x − 2 = x + 3 تعني x = 5: (أ).
- II. 3) 45 ÷ 3 = 15 قطعة في الساعة، و 15 × 7 = 105: (ج). 4) القسمة على −3 تغيّر الاتّجاه: x ≤ −2: (ب).
التمرين 2: عددان مقلوبان
5 نقاطنعتبر العددين الحقيقيّين a = (√3 + √2)² و b = 5 − √24.
- بيّن أنّ a = 5 + 2√6.
- بيّن أنّ b = 5 − 2√6.
- أ) أحسب a × b.
ب) استنتج أنّ a و b مقلوبان. - بيّن أنّ a + 1/a = 10.
عناصر الإجابة
- 1) a = (√3)² + 2√3 × √2 + (√2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6.
- 2) √24 = √(4 × 6) = 2√6 إذن b = 5 − 2√6.
- 3) أ) a × b = (5 + 2√6)(5 − 2√6) = 25 − (2√6)² = 25 − 24 = 1. ب) جذاؤهما 1 إذن a و b مقلوبان.
- 4) 1/a = b إذن a + 1/a = a + b = 5 + 2√6 + 5 − 2√6 = 10.
التمرين 3: طالس وبيتاغور: ظلّ شجرة
7 نقاطلتقدير ارتفاع شجرة نخيل في حقل، غرس فلّاح عصًا [CD] عموديًّا على الأرض بحيث ينتهي ظلّ العصا وظلّ الشجرة في نفس النقطة E. يمثّل الرسم المقابل هذه الوضعيّة (وحدة قيس الطول هي المتر m): [AB] هي الشجرة، والنقاط E و D و B على استقامة واحدة، وكذلك النقاط E و C و A.
المعطيات: (CD) ⊥ (EB) و (AB) ⊥ (EB)، CD = 1,5 و ED = 2 و EB = 12.
- فسّر لماذا (CD) // (AB).
- أ) فسّر لماذا ED/EB = EC/EA = CD/AB.
ب) استنتج أنّ ارتفاع الشجرة AB = 9. - أ) بيّن أنّ EC = 2,5.
ب) استنتج EA ثمّ تحقّق من النتيجة باستعمال نظرية بيتاغور في المثلث EBA. - يريد الفلّاح قطع الشجرة من قاعدتها. يوجد بيت على بعد 10 m من قاعدة الشجرة. هل يمكن أن تصيب الشجرة البيت عند سقوطها؟ علّل.
عناصر الإجابة
- 1) (CD) و (AB) عموديان على نفس المستقيم (EB) فهما متوازيان.
- 2) أ) في المثلث EBA: D ∈ [EB] و C ∈ [EA] و (CD) // (AB)، فحسب نظرية طالس ED/EB = EC/EA = CD/AB. ب) ED/EB = 2/12 = 1/6 إذن AB = 6 × CD = 6 × 1,5 = 9 m.
- 3) أ) المثلث EDC قائم في D: EC² = 2² + 1,5² = 4 + 2,25 = 6,25 إذن EC = 2,5. ب) EA = 6 × EC = 15 m. تحقّق: EA² = EB² + AB² = 144 + 81 = 225 و √225 = 15.
- 4) طول الشجرة 9 m وهو أصغر من 10 m، إذن لا يمكن أن تصيب البيت.
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.